地图区域的边界点按不同方向走一圈，带符号面积会改变正负，但实际覆盖面积不会因此变成负数。用一个矩形挖去上边凹口的例子，可以同时核对边界公式和直观分块。

本篇使用一组可以手算或逐行复查的虚构游戏记录。先读清操作顺序与边界，再看完整过程；它不是某一款现有游戏的隐藏公式，也不要求读者安装工具。

规则与输入

坐标横向右、纵向上，八个顶点组成没有自交的凹多边形。按给定顺序将相邻点的横纵交叉乘积作差并求和，最后除二得到带符号面积；最后一点必须接回第一点。另比较倒序顶点。

八组外框上边带矩形凹口的独立边界，均包含闭合的最后一条边。

逐步计算与结果

第1组外框13×8，凹口宽7、深2，平移[5, 5]，顶点[[5, 5], [18, 5], [18, 13], [13, 13], [13, 11], [6, 11], [6, 13], [5, 13]]。逐边交叉差[-65, 144, 65, -26, 77, 12, 13, -40]，合计180，带符号面积90，倒序为-90，实际面积90。

第2组外框9×5，凹口宽6、深2，平移[2, 7]，顶点[[2, 7], [11, 7], [11, 12], [9, 12], [9, 10], [3, 10], [3, 12], [2, 12]]。逐边交叉差[-63, 55, 24, -18, 60, 6, 12, -10]，合计66，带符号面积33，倒序为-33，实际面积33。

第3组外框6×5，凹口宽3、深3，平移[7, -5]，顶点[[7, 0], [8, 0], [8, -3], [11, -3], [11, 0], [13, 0], [13, -5], [7, -5]]。逐边交叉差[0, -24, 9, 33, 0, -65, -30, 35]，合计-42，带符号面积-21，倒序为21，实际面积21。

第4组外框14×11，凹口宽1、深2，平移[-6, -7]，顶点[[-6, -7], [8, -7], [8, 4], [2, 4], [2, 2], [1, 2], [1, 4], [-6, 4]]。逐边交叉差[98, 88, 24, -4, 2, 2, 28, 66]，合计304，带符号面积152，倒序为-152，实际面积152。

第5组外框7×5，凹口宽2、深1，平移[-3, 2]，顶点[[-3, 7], [1, 7], [1, 6], [3, 6], [3, 7], [4, 7], [4, 2], [-3, 2]]。逐边交叉差[-28, -1, -12, 3, -7, -20, 14, -15]，合计-66，带符号面积-33，倒序为33，实际面积33。

第6组外框8×9，凹口宽3、深4，平移[5, -9]，顶点[[5, 0], [6, 0], [6, -4], [9, -4], [9, 0], [13, 0], [13, -9], [5, -9]]。逐边交叉差[0, -24, 12, 36, 0, -117, -72, 45]，合计-120，带符号面积-60，倒序为60，实际面积60。

第7组外框6×7，凹口宽2、深2，平移[9, 7]，顶点[[9, 7], [15, 7], [15, 14], [12, 14], [12, 12], [10, 12], [10, 14], [9, 14]]。逐边交叉差[-42, 105, 42, -24, 24, 20, 14, -63]，合计76，带符号面积38，倒序为-38，实际面积38。

第8组外框7×5，凹口宽3、深4，平移[6, 4]，顶点[[6, 9], [9, 9], [9, 5], [12, 5], [12, 9], [13, 9], [13, 4], [6, 4]]。逐边交叉差[-27, -36, -15, 48, -9, -65, 28, 30]，合计-46，带符号面积-23，倒序为23，实际面积23。

逐组用外框减凹口核验绝对面积，正负只随绕行方向变化，平移不增加或减少覆盖。

怎样独立复核

不使用边界求和，直接用外矩形面积减去凹口矩形面积，应该等于带符号面积绝对值。倒序只改变符号，平移全部点不改变面积；这些是本例的独立交叉检查。

很多图像坐标的纵轴向下，视觉顺逆时针的解释会反过来，应先说明坐标约定。自交边界需要额外定义填充规则，不能直接拿这里的绝对值当作任何复杂路径的覆盖面积。

练习时可以只改变一个输入，再预测哪一步会最先改变。保留中间记录，检查空状态、相等数值和刚好落在边界的情况。最终结果碰巧相同，并不能证明两个过程等价；反过来，采用不同规则得出不同结果，也不应立即视作程序故障。